質問:
地球の質量はどのように決定されますか?
Kenshin
2014-04-16 10:12:33 UTC
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教科書の知識によると、地球の質量は約$ 6×10 ^ {24} \、\ mathrm {kg} $です。通常のスケールを使用して地球に重みを付けることができない場合、この数値はどのように決定されますか?

五 答え:
#1
+37
Mr_Green
2014-04-16 10:36:45 UTC
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2つの質量が互いに作用する引力(重力)に基づくニュートンの重力の法則によると:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$ span>

場所:

  • $ F $ span>は重力です
  • $ G = 6.67 \ times 10 ^ {-11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {-1} \ \ mathrm {s} ^ {-2} $ span>は比例定数です
  • $ M $ span>と $ m $ span>は、力を発揮する2つの質量です
  • $ r $ span >は、2つの質量中心間の距離です。

ニュートンの第2運動法則から:

$$ F = ma $$ span>

場所:

  • $ F $ span>はオブジェクトに加えられる力です
  • $ m $ span>はオブジェクトの質量です
  • $ a $ span>は、力による加速です。

両方の方程式を等しくする

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$ span>

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ span>( $ m $ span>はキャンセルされました。)

地球の質量である $ M $ span>を解きます。

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$ span>

ここで $ a = 9.8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ span>、 $ r = 6.4 \ times 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ span>、および $ G = 6.67 \ times 10 ^ {-11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {-1} \ \ mathrm {s} ^ {-2} $ span>。

$$ M = 9.8 \ times(6.4 \ times 10 ^ 6)^ 2 /(6.67 \ times 10 ^ {-11})\ \ mathrm {kg} $$ span>


したがって、

$ M = 6.0 \ times 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $ span>

ミュウ、重力の法則がF = MAから開発された、自然哲学の数学的原理というタイトルの科学史上最高のテキストの1つがあります。
一般式のrは、物体の重心間の距離であることを明確にする必要があります(物体と地球の間の距離が0であっても、重力は地表上の物体にも作用します)。また、私の意見では、2乗指数をたとえば `r2`ではなく` r ^ 2`として表現すると、あいまいさが回避されるため、より明確になります( `r * r`または` r * 2`を意味しますか?)。それとは別に、それは良い答えです:-)
この答えは、少なくともaとGを決定する方法を認める必要があるように感じます
#2
+34
David Hammen
2014-04-24 17:40:45 UTC
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注:この回答を更新して、歴史的手法の説明を追加しました。

歴史的手法

ニュートンが開発しました彼の重力理論は、主に太陽系を形成する物体の動きを説明するためのものです。彼はまた、重力によって地球が太陽を周回し、月が地球を周回する一方で、木から落ちるリンゴの原因でもあることに気づきました。すべてが重力で他のすべてを引き付けます。これは、理論的には、一対の小さな球の間の引力を測定できることを示唆しています。ニュートン自身もこれに気づきましたが、あまり実用的ではないと思いました。確かに2つの小さな球ではありません(Newton 1846):

直径1フィートの球で、地球に似た性質のものは、力でその表面近くに配置された小さな物体を引き付けます。地球の表面近くに配置した場合の20000000分の1。しかし、非常に小さな力では、意味のある効果は得られません。そのような2つの球が離れていても、1インチ離れていたとしても、抵抗のない空間であっても、1か月以内に相互の引力によって一緒になることはありません。球体が少なくなると、速度はさらに遅くなります。つまり、直径の比率になります。

山かもしれませんか?

いや、山全体が集まるでしょう。賢明な効果を生み出すには十分ではありません。高さ3マイル、幅6の半球形の山は、その引力によって、真の垂線から2分離れて振り子を引き寄せることはありません。これらの力が存在するのは、惑星の大体だけです。知覚された、...

そのような小さな測定の非実用性に関するニュートンの考えは正しくないことが判明するでしょう。ニュートンは、彼自身が推進するのに役立った科学革命が、そのような小さな測定をすぐに可能にすることをほとんど知りませんでした。


山を使って地球を計量する

「地球の重さを量る」最初の試みは、フランスのペルー測地線ミッション中に、ピエールブーゲ、シャルルマリードゥラコンダミーヌ、ルイゴダンによって行われました。彼らの主な使命は、地球の形を決定することでした。ニュートンが予測したように、地球には赤道バルジがありましたか? (フランス人は同じ目的を達成するためにラップランドに別のチームを送りました。)ブーゲはこの旅行を、山が鉛直を調査された通常からそらすというニュートンの提案をテストする機会として使用しました。彼は対象の山としてチンボラソを選びました。残念ながら、測定値は完全に間違っていました。下げ振りはそらされましたが、方向が間違っていました。ブーゲは山から離れるわずかなたわみを測定しました(ビーソン、ウェブページ)。

次の試みはシェハリオンの実験でした。メイソン-ディクソン線を調査しているときに、チャールズメイソンとジェレマイアディクソンは、時折、それらのキャリブレーションを互いに一致させることができないことに気づきました。原因は、彼らの下げ振りが時々調査された正常から逸脱したことでした。この発見は、ネヴィル・マスケリンによって行われたシェハリオン実験につながりました。ブーゲとは異なり、マスケリンは11.6秒角のたわみと正しい方向で肯定的な結果を得ました。観測されたたわみにより、マスケリンは地球の平均密度が水の平均密度の4.713倍であると結論付けました(von Zittel 1914)。

ニュートンの山を使用するという考えには根本的な欠陥があることがわかりました。他の山々を使ってこれらの実験を繰り返そうとした人もいます。ブーゲが行ったように、多くは負のたわみを測定しました。これには正当な理由があります。氷山のごく一部(大部分は水中)しか見えないのと同じ理由で、山のごく一部しか見えません。山の大部分は地球の中にあります。巨大な孤立した山は、下げ振りを山から遠ざける必要があります。


小さな塊を使用して地球を計量する

では、山を使用することが疑わしい場合、ほんの数インチ離れていても互いに近づくのに数か月かかる小さな塊を使用することの疑わしさについてはどうでしょうか?

これは非常に重要であることが判明しました。良いアイデア。これらの小さな質量は制御可能であり、それらの質量は高精度で測定できます。それらが衝突するまで待つ必要はありません。それらが互いに及ぼす力を測定するだけです。

このアイデアは、キャベンディッシュ実験(Cavendish 1798)の基礎でした。キャベンディッシュは、2つの小さな鉛球と2つの大きな鉛球を使用しました。 2つの小さな球は、水平な木製の腕の両端からぶら下がっていました。木製の腕はワイヤーで吊るされていました。 2つの大きな球体は、大きな球体を小さな球体に非常に近づけるために回転できる別のデバイスに取り付けられました。この密接な分離により、小さな球と大きな球の間に重力が発生し、その結果、木製のアームを保持しているワイヤーがねじれました。ワイヤーのねじれは、この重力を相殺するように作用しました。最終的に、システムは平衡状態に落ち着きました。彼は、ねじれのない状態からの腕の角度偏差を観察することによって、ねじれを測定しました。彼はこのねじれを別の測定セットで校正しました。最後に、これらの鉛球を計量することにより、キャベンディッシュは地球の平均密度を計算することができました。

キャベンディッシュは万有引力定数Gを測定しなかったことに注意してください。キャベンディッシュの論文には、重力定数についての言及はありません。キャベンディッシュがGを測定したという概念は、少し歴史的な修正主義です。ニュートンの万有引力の法則の現代的な表記法である$ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $は、キャベンディッシュの時代には存在しませんでした。ニュートンの万有引力の法則が重力定数Gの観点から再定式化されたのは、キャベンディッシュの実験から75年後のことでした。ニュートンとキャベンディッシュの時代の科学者は、比例定数を使用するのではなく、比例の観点から書いています。

キャベンディッシュの実験の目的は地球を「計量」することでした。それはまさに彼がしたことです。


最新の技術

地球が球形であり、月と太陽への重力加速などの他の摂動効果がなく、ニュートンの重力理論が正しければ、地球を周回する小さな衛星の周期はケプラーの第3法則によって与えられます。 \ left(\ frac T {2 \ pi} \ right)^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $。ここで、$ T $は衛星の周期、$ a $は衛星の準主軸(軌道半径)、$ G $は万有引力定数、$ M_E $は地球の質量です。

これから、周期$ T $と軌道半径$ a $がわかっている場合、積$ G M_E $を簡単に解くことができます。$ G M_E = \ left(\ frac {2 \ pi} T \ right)^ 2 a ^ 3 $。地球の質量を計算するには、$ G $で割るだけです。ただし、問題があります。積が$ Gである場合、M_E $は高い精度で認識されます(実際にそうです)。重力定数$ G $は小数点以下4桁までしか認識されないため、$ G $で除算すると精度が大幅に低下します。この$ G $の知識の欠如は、本質的に地球の質量の正確な測定を悩ませています。

この計算には多くの注意点があります。

  • 地球はそうではありません。球形ではありません。地球は、扁球としてより適切にモデル化されています。その赤道バルジは衛星の軌道を混乱させます(偏球回転楕円体モデルからの逸脱も同様です)。
  • 宇宙には地球だけが存在するわけではありません。月と太陽(および他の惑星)からの重力は、衛星の軌道を乱します。太陽や地球からの放射もそうです。
  • ニュートンの重力理論はおおよそ正しいだけです。アインシュタインの一般相対性理論は、より良いモデルを提供します。ニュートンの理論とアインシュタインの理論の間の偏差は、長期間にわたる正確な測定で観察可能になります。

これらの摂動を考慮する必要がありますが、基本的な考え方は依然として有効です。つまり、衛星を長期間正確に観測することで「地球の重さを量る」ことができます。必要なのは、その目的に特に適した衛星です。

!LAGEOS

これは1976年に発売されたLAGEOS-1です。同じ双子のLAGEOS-2が1992年に配備されました。これらは、非常に 単純な衛星。センサー、エフェクター、通信機器、電子機器はありません。それらは完全に受動的な衛星です。それらは直径60cmの真ちゅう製のボールで、再帰反射器で覆われています。

衛星に測定を行わせる代わりに、地上の人々は衛星にレーザーを向けます。衛星が再帰反射器で覆われているということは、衛星に当たるレーザー光の一部が反射されて光源に戻ることを意味します。反射光の放出と受信の間の遅延のタイミングを正確にとることで、衛星までの距離を正確に測定できます。送信信号と戻り信号の間の周波数変化を正確に測定することで、距離が変化する速度を正確に測定できます。

これらの測定値を時間の経過とともに累積することにより、科学者はこれらの衛星の軌道を非常に正確に決定できます。そしてそこから彼らは「地球の重さを量る」ことができます。製品$ G M_E $の現在の見積もりは$ G M_E = 398600.4418 \ pm 0.0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $です。 (NIMA2000)。その小さなエラーは、これが小数点以下8.6桁まで正確であることを意味します。地球の質量の誤差のほとんどすべては、$ G $の不確実性に起因します。

参考文献

M。ビーソン、「ブーゲは地球の重さを測ることができない」(ウェブページ)

H。キャベンディッシュ、「地球の密度を決定するための実験」、 Phil。トランス。 R.Soc。ロンドン、 88(1798)469-526

I。ニュートン(A.モット訳)、プリンシピア、世界のシステム(1846)

NIMAテクニカルレポートTR8350.2、「Department of Defense World Geodetic System 1984、its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems」、第3版、2000年1月

K。フォンジッテル(M.オギルビーゴードン訳)、「19世紀末までの地質学と古生物学の歴史」(1914年)

いい答えだ。現代の方法では衛星を使うことは知っていましたが、詳細はわかりませんでした。
#3
+15
hugovdberg
2014-04-16 10:35:36 UTC
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地球の質量は、いわゆるキャベンディッシュ実験によって決定できます。ヘンリーキャベンディッシュは、装置を使用して、重力の完全な方程式に現れる重力定数Gを決定しました。

$$ F = {Gm_1m_2 \ over R ^ 2} $$

ここで、$ m_1 $と$ m_2 $は2つのオブジェクトの質量、$ R $はオブジェクトの重心間の距離、$ G $は重力定数(約$ 6.674 \ times 10 ^ {-11} \ mathrm {N 〜m ^ 2〜kg ^ {-2}} $)。

地球の直径と重力定数がわかっているので、既知の質量を持つ物体にかかる重力を決定すると、その力を発揮している物体の質量がわかります(つまり地球)。

#4
+12
winwaed
2014-04-16 19:55:08 UTC
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キャベンディッシュはより直接的なアプローチを使用した可能性がありますが、ネビルマスケリンは、1778年に公開されたシェハリオン実験の初期にそれを行いました。金星の太陽面;メイソン&ディクソン;ベンジャミン・フランクリンでさえ初期の計画に関与していました。

シェハリオンはスコットランドの対称的で比較的孤立した山です。形状を測定する(そしてその過程で等高線を発明する)ことにより、体積を計算することができます。岩石のサンプリングから、山の質量を計算できます。振り子のたわみを見ると、地球の質量とシェハリオンの質量の比率を計算できます。

最新の数値標高モデルと地質モデルを使用して、マスケリンの振り子の測定値は、現在と一致する結果をもたらします。 Gの許容値(またはM-同じコインの両面です)。

余談ですが、私は約18か月前に山を登りました。天気が良ければ、近くに山がないので素晴らしい景色を眺めることができます(これも測定に干渉します)。

#5
+10
Neo
2014-04-16 10:37:39 UTC
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最も簡単な方法は、衛星からの重力計を使用して、ニュートンが何世紀も前に考案した有名な逆二乗の法則の方程式を解くことです。

別の方法は、価値のある演習になる可能性があります(私はSolid-Earth Geophysics Classでそれを行うには、4層の地球(地殻、マントル、外核、内核)を想定します。地震データを使用して、各層の深さ(S / P反射による)だけでなく、地震波速度による各層の密度も取得します。各「シェル」の密度が均一であると仮定し、地球の円周(したがって直径)を使用して質量を見つけることができます。

2つの物体(地球と月/地球と太陽)間の距離がわかっている場合は、惑星運動のケプラー/ニュートンの法則を使用して解決することもできます。

IE、ニュートンの重力の法則が私たちに地球の質量の非常に良い近似を与える多くの方法。

*最も簡単な方法は、衛星からの重力計を使用することです*。あなたは「簡単」という言葉の珍しい考えを持っています。
その衛星を軌道に乗せたり、重力計を作ったりするのは非常に難しいと思いますが、その重力計(すでに収集されたデータ)を使用するのはURLです。 http://topex.ucsd.edu/WWW_html/bkgrd.html
これはまったく機能しません!重力計は重力を測定しません。それらは、重力計が地球に沈むのを防ぐ地面によって加えられる上向きの法線力を測定します。重力計は静止しているので、上向きの力の測定は重力の代用として機能します。衛星は自由落下しています。衛星の重力計は*ゼロ*(または低軌道にある場合はほぼゼロ)を測定します。衛星の1対の重力計は、重力勾配を測定できます。それがGOCE衛星の基礎です(3つのそのようなペアがありました)。しかし、それには地球の重力の基本モデルが必要です。


このQ&Aは英語から自動的に翻訳されました。オリジナルのコンテンツはstackexchangeで入手できます。これは、配布されているcc by-sa 3.0ライセンスに感謝します。
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